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常州微信公众平台开发-【Unity技巧】四元数（Quaternion）和旋转

四元数介绍

旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的一种了。大家应该都听过，有一种旋转的表示方法叫四元数。按照我们的习惯，我们App开发培训更加熟悉的是另外两种旋转的表示方法——矩阵旋转和elarRot。矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵，而欧拉选择则是按照一定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量，它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。

那么，四元数又是什么呢？简单来说，四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。。。），是一个四维空间，相对于复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。那么，它和旋转为什么会有关系呢？

在Unity里，tranform组件有一个变量名为rotation，它的类型就是四元数。很多初学者会直接取rotation的x、y、z，认为它们分别对应了Transform面板里R的各个分量。当然很快我们常州网站开发培训就会发现这是完全不对的。实际上，四元数的x、y、z和R的那三个值从直观上来讲没什么关系，当然会存在一个表达式可以转换，在后面会讲。

大家应该和我一样都有很多疑问，既然已经存在了这两种旋转表示方式，为什么还要使用四元数这种听起来很难懂的东西呢？我们常州企业培训先要了解这三种旋转方式的优缺点：

矩阵旋转

优点：

旋转轴可以是任意向量；

缺点：

旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；

而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；
 

欧拉旋转

优点：

表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我常州软件技术培训-幻天网络的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；

缺点：

之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；

会造成万象锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，常州软件技术培训欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。

由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；
 

四元数旋转

优点：

可以避免万向节锁现象；

只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷；

可以提供平滑插值；

缺点：

比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度，但常州平台运营速度更快速；

理解更困难，不直观；

四元数和欧拉角

基础知识

前面说过，一个四元数可以表示为q = w + xi + yj + zk，现在就来回答这样一个简单的式子是怎么和三维旋转结合在一起的。为了方便，我们下面使用q = ((x, y, z)，w) = (v, w)，其中v是向量，w是实数，这样的式子来表示一个四元数。

我们先来看问题的答案。我们可以使用一个四元数q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2) 来执行一个旋转。具体来说，如果我们想要把空间的一个点P绕着单位向量轴u = (x, y, z)表示的旋转轴旋转θ角度，我们首先把点P扩展到四元数空间，即四元数p = (P, 0)。那么，旋转后新的点对应的四元数（当然这个计算而得的四元数的实部为0，虚部系数就是新的坐标）为：

p′=qpq−1

其中，q=(cosθ2, (x,y,z)sinθ2) ，q−1=q∗N(q)，由于u是单位向量，因此

N(q)=1，即q−1=q∗。右边常州微信公众平台表达式包含了四元数乘法。相关的定义如下：

四元数乘法：q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2−v1→⋅v2→)

共轭四元数：q∗=(−v⃗ ,w)
 

四元数的模：N(q) = √(x^2 + y^2 + z^2 +w^2)，即四元数到原点的距离
 

四元数的逆：q−1=q∗N(q)
 

主要思想是构建了一个辅助向量k，它是将p绕旋转轴旋转θ/2得到的。证明过程尝试证明wk∗=kv∗，以此证明w与v、k在同一平面内，且与v夹角为θ。

我们举个最简单的例子：把点P(1, 0, 1)绕旋转轴u = (0, 1, 0)旋转90°，求旋转后的顶点坐标。首先将P扩充到四元数，即p = (P, 0)。而q = (u*sin45°, cos45°)。求p′=qpq−1的值。建议大家一定要在纸上计算一边，这样才能加深印象，连笔都懒得动的人还是不要往下看了。最后的结果p` = ((1, 0, -1), 0)，即旋转后的顶点位置是(1, 0, -1)。

如果想要得到复合旋转，只需类似复合矩阵那样左乘新的四元数，再进行运算即可。

我们来总结下四元数旋转的几个需要注意的地方：

用于旋转的四元数，每个分量的范围都在（-1，1）；
 

每一次旋转实际上需要常州微信小程序开发两个四元数的参与，即q和q*；
 

所有用于旋转的四元数都是单位四元数，即它们的模是1；

下面是几点建议：

实际上，在Unity里即便你不知道上述公式和变换也丝毫不妨碍我们使用四元数，但是有一点要提醒你，除非你对四元数非常了解，那么不要直接对它们进行赋值。
 

如果你不想知道原理，只想在Unity里找到对应的函数来进行四元数变换，那么你可以使用这两个函数：Quaternion.Euler和Quaternion.eulerAngles。它们基本可以满足绝大多数的四元数旋转变换。

和其他类型的转换

首先是轴角到四元数：

给定一个单位长度的旋转轴(x, y, z)和一个角度θ。对应的四元数为：

q=((x,y,z)sinθ2, cosθ2) 

这个公式的推导过程上面已经给出。

欧拉角到四元数：

给定一个欧拉旋转(X, Y, Z)（即分别绕x轴、y轴和z轴旋转X、Y、Z度），则常州网站开发建设对应的四元数为：

x = sin(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)

y = sin(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)

z = cos(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)

w = cos(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)

q = ((x, y, z), w)

它的证明过程可以依靠轴角到四元数的公式进行推导。